Nierówności
Zadanie 24, sierpień 2011, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność
\[
x^2-3x+2<0.
\]
Odpowiedź
x ∈ (\(1\), \(2\))
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa \(x^2-3x+2\lt 0\). Postępujemy według stałego schematu: wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu, rysujemy parabolę i odczytujemy, gdzie wykres leży pod osią \(Ox\).
**Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\):
\[\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.\]
**Krok \(3\).** Wyznaczamy pierwiastki:
\[x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.\]
Można też zauważyć od razu, że \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\).
**Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Wartości ujemne taka parabola przyjmuje wyłącznie między swoimi miejscami zerowymi.
**Krok \(5\).** Szukamy wartości ujemnych, czyli części wykresu pod osią \(Ox\), więc
\[x\in(1,2).\]
**Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc końce przedziału odpadają: dla \(x=1\) i \(x=2\) trójmian jest równy \(0\), a zero nie jest mniejsze od zera.
**Odpowiedź.** \(x\in(1,2)\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: miejsca zerowe 1 i 2 albo postać (x−1)(x−2)<0. 2 pkt: przedział (1,2).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.
