Potęgi i pierwiastki
Zadanie 4, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Liczba \(\log_{8}\sqrt[5]{2}\) jest równa
**A.** \(\frac{1}{15}\)
**B.** \((-15)\)
**C.** \(\frac{3}{5}\)
**D.** \(\frac{5}{3}\)
Odpowiedź
**A.** \(\frac{1}{15}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zarówno podstawa logarytmu (\(8\)), jak i liczba logarytmowana (\(\sqrt[5]2\)) są potęgami dwójki. W takiej sytuacji najpewniejsza metoda to oznaczyć szukaną wartość literą i zapisać definicję logarytmu.
**Krok \(2\).** Niech \(x=\log_8\sqrt[5]2\). Z definicji logarytmu oznacza to, że
\[8^x=\sqrt[5]2.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy obie strony jako potęgi dwójki. Po lewej \(8=2^3\), a po prawej pierwiastek zamieniamy na potęgę o wykładniku ułamkowym: \(\sqrt[5]2=2^{\frac15}\).
**Krok \(4\).** Otrzymujemy
\[\left(2^3\right)^x=2^{\frac15},\qquad\text{czyli}\qquad 2^{3x}=2^{\frac15}.\]
**Krok \(5\).** Jeśli potęgi o tej samej podstawie (różnej od \(1\)) są równe, to równe są ich wykładniki:
\[3x=\frac15.\]
**Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(3\):
\[x=\frac{1}{5}\cdot\frac13=\frac{1}{15}.\]
**Uwaga.** Warto na koniec ocenić rząd wielkości wyniku. Liczba \(\sqrt[5]2\) jest tylko odrobinę większa od \(1\), a podstawa \(8\) jest znacznie większa, więc logarytm musi być dodatni i bardzo mały. To od razu wyklucza \(-15\) oraz \(\frac53\).
**Odpowiedź.** A: \(\frac{1}{15}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem oraz wzory dotyczące logarytmów.
