Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
**Wykaż, że liczba**
\[2^{100}+4^{49}+16^{24}\]
**jest podzielna przez \(21\).**
Odpowiedź
Liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z praw działań na potęgach:
\[2^{100}+4^{49}+16^{24}=2^{100}+(2^2)^{49}+(2^4)^{24}\]
\[=2^{100}+2^{98}+2^{96}.\]
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
\[2^{100}+2^{98}+2^{96}=2^{96}(2^4+2^2+1)=2^{96}(16+4+1)=2^{96}\cdot21.\]
Ponieważ \(2^{96}\) jest liczbą naturalną, dana liczba jest podzielna przez \(21\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(21\cdot n\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną, na przykład \(2^{96}\cdot21\)
**1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(2^{100}+2^{98}+2^{96}\); albo do równoważnej postaci \(4^{50}+4^{49}+4^{48}\); albo \(16^{25}+4\cdot16^{24}+16^{24}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych.
I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.
