Zadanie 4 – matura z matematyki próbna grudzień 2024, poziom podstawowy

**D.** \(\log_7(xy^6)\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy cel: w treści mamy sumę dwóch logarytmów, a we wszystkich odpowiedziach stoi **jeden** logarytm. Trzeba więc zwinąć sumę, korzystając ze wzorów na działania na logarytmach. Przeszkadza współczynnik \(6\), więc najpierw pozbywamy się go wzorem na logarytm potęgi. **Krok \(2\).** Wzór na logarytm potęgi: \(n\log_{a}b=\log_{a}b^{n}\) (dla \(b\gt0\)). Współczynnik \(6\) stoi **tylko** przy logarytmie z \(y\), więc \[6\log_{7}y=\log_{7}y^{6}.\] Założenie \(y\gt0\) z treści gwarantuje, że wszystko ma sens. **Krok \(3\).** Wyrażenie przyjmuje postać sumy dwóch logarytmów o tej samej podstawie: \[\log_{7}x+6\log_{7}y=\log_{7}x+\log_{7}y^{6}.\] **Krok \(4\).** Stosujemy wzór na logarytm iloczynu: \(\log_{a}u+\log_{a}v=\log_{a}(uv)\): \[\log_{7}x+\log_{7}y^{6}=\log_{7}\left(x\cdot y^{6}\right)=\log_{7}\left(xy^{6}\right).\] **Uwaga.** Wykładnik \(6\) trafia wyłącznie na \(y\), bo tylko tego logarytmu dotyczył współczynnik — dlatego odpowiedź \(\log_{7}(xy)^{6}\) jest błędna (odpowiadałaby wyrażeniu \(6\log_{7}x+6\log_{7}y\)). Suma logarytmów daje iloczyn liczb logarytmowanych, więc odpowiedź z ilorazem \(\frac{x}{y^{6}}\) też odpada. **Odpowiedź.** D: \(\log_{7}\left(xy^{6}\right)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający posługuje się wzorami na logarytm iloczynu i logarytm potęgi.