Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).**
Odpowiedź
Liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\). Wtedy
\[3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1\]
\[=12k^2+20k+8=4(3k^2+5k+2).\]
Ponieważ \(3k^2+5k+2\) jest liczbą całkowitą, otrzymana liczba jest podzielna przez \(4\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\), przekształcenie do postaci \(4(3k^2+5k+2)\) i uzasadnienie całkowitości drugiego czynnika
**1 pkt** – zapisanie \(n=2k+1\) i poprawne podstawienie do wyrażenia albo inne poprawne rozpoczęcie dowodu wskazane w kluczu CKE
**0 pkt** – niepoprawna metoda, sprawdzenie tylko wybranych wartości \(n\) albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
