Liczby rzeczywiste
Zadanie 14, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba
\[5n^2+15n\]
jest podzielna przez \(10\).
Odpowiedź
Liczba \(5n^2+15n\) jest podzielna przez \(10\) dla każdego \(n\in\mathbb N\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyłączamy wspólny czynnik:
\[5n^2+15n=5n(n+3).\]
Liczby \(n\) i \(n+3\) mają różną parzystość, ponieważ różnią się o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\). Całe wyrażenie zawiera ponadto czynnik \(5\), zatem jest podzielne przez \(2\cdot5=10\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełny dowód: rozpatrzenie przypadków \(n=2k\) i \(n=2k+1\) albo przekształcenie do postaci \(5n(n+3)\) i uzasadnienie podzielności przez \(2\) oraz przez \(5\)
**1 pkt** – przekształcenie do postaci \(5n(n+3)\) albo poprawne rozpatrzenie jednego z przypadków parzystości
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, podawanie argumentów i odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
