Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, maj 2026, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla \(x = \sqrt{2} - 5\) wartość wyrażenia \(x^{2} + 10x + 25\) jest równa
A. \(2\)
B. \(\sqrt{2}\)
C. \(2 - 20\sqrt{2}\)
D. \(62 - 10\sqrt{2}\)
Podpowiedź
Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia zamiast rozwijać całe wyrażenie.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Wyrażenie jest kwadratem sumy \(x+5\).
Rozwiązanie
Mamy \[x^2+10x+25=(x+5)^2.\] Dla \(x=\sqrt{2}-5\) otrzymujemy \[x+5=\sqrt{2},\qquad (x+5)^2=2.\] Poprawna jest odpowiedź A.
Sprawdzenie
Podstawienie do postaci \((x+5)^2\) eliminuje składniki \(-5\) i \(+5\), więc wynik nie zawiera pierwiastka.
Odpowiedź
A. \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy cokolwiek podstawiać, przyjrzyjmy się wyrażeniu \(x^2+10x+25\). Widać w nim wzór skróconego mnożenia: \(25=5^2\), a \(10x=2\cdot x\cdot5\), więc
\[x^2+10x+25=(x+5)^2.\]
To skraca rachunki do jednej linijki.
**Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=\sqrt2-5\) do nawiasu:
\[x+5=\left(\sqrt2-5\right)+5=\sqrt2.\]
**Krok \(3\).** Podnosimy do kwadratu:
\[(x+5)^2=\left(\sqrt2\right)^2=2.\]
**Krok \(4\).** Dla pewności ta sama rachuba drogą „na piechotę”. Najpierw kwadrat ze wzoru \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\):
\[x^2=\left(\sqrt2-5\right)^2=2-10\sqrt2+25=27-10\sqrt2.\]
**Krok \(5\).** Dalej \(10x=10\sqrt2-50\), więc
\[x^2+10x+25=\left(27-10\sqrt2\right)+\left(10\sqrt2-50\right)+25.\]
**Krok \(6\).** Składniki z pierwiastkiem się redukują, a liczby dają
\[27-50+25=2.\]
Wynik ten sam co w kroku \(3\).
**Uwaga.** Przy liczeniu \(\left(\sqrt2-5\right)^2\) nie wolno podnosić do kwadratu osobno każdego składnika — wynik to nie \(2+25\), tylko \(2-10\sqrt2+25\). Właśnie ten środkowy wyraz jest w tym zadaniu najczęściej gubiony.
**Odpowiedź.** A: \(2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).
