Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, maj 2025, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^{2}-(2x-3)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia
**A.** \(5x^{2}-5\)
**B.** \(5x^{2}+13\)
**C.** \(5x^{2}+24x-5\)
**D.** \(5x^{2}+24x-13\)
Odpowiedź
**C.** Ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[(3x+2)^{2}-(2x-3)^{2}=(x+5)(5x-1)=5x^{2}+24x-5.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Trzeba uprościć różnicę dwóch kwadratów sum. Najbezpieczniej rozwinąć każdy nawias ze wzoru skróconego mnożenia, a potem odjąć. Przypominamy wzory: \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\) oraz \((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\).
**Krok \(2\).** Rozwijamy pierwszy nawias dla \(u=3x\), \(v=2\):
\[(3x+2)^2=(3x)^2+2\cdot3x\cdot2+2^2=9x^2+12x+4.\]
**Krok \(3\).** Rozwijamy drugi nawias dla \(u=2x\), \(v=3\):
\[(2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2-12x+9.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy cały drugi wynik — dlatego zapisujemy go w nawiasie:
\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-\left(4x^2-12x+9\right).\]
**Krok \(5\).** Opuszczamy nawias ze znakiem minus, zmieniając znak każdego wyrazu w środku:
\[=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9.\]
**Krok \(6\).** Redukujemy wyrazy podobne:
\[9x^2-4x^2=5x^2,\qquad 12x+12x=24x,\qquad 4-9=-5,\]
czyli otrzymujemy \(5x^2+24x-5\).
**Krok \(7\).** Kontrola drugim sposobem, ze wzoru \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) dla \(A=3x+2\), \(B=2x-3\):
\[(3x+2-2x+3)(3x+2+2x-3)=(x+5)(5x-1)=5x^2-x+25x-5=5x^2+24x-5.\]
Wynik ten sam.
**Uwaga.** Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika, więc \(-(-12x)=+12x\). Zapomnienie o tym zamienia \(+24x\) na \(0\) i prowadzi do odpowiedzi A lub B.
**Odpowiedź.** C: \(5x^2+24x-5\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\);
II.2) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych.
