Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 3, maj 2023, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).**
Odpowiedź
Liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\) dla każdego \(n\in\mathbb N\), \(n\geq1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\[(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1).\]
Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem parzysty, a liczba \(4n(n+1)\) jest podzielna przez \(8\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(4n(n+1)\) i uzasadnienie, że \(n(n+1)\) jest parzyste (albo inne pełne, poprawne rozumowanie wskazane w kluczu CKE)
**1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(4n(n+1)\), \(4(n^2+n)\) lub \(2n(2n+2)\), bez pełnego uzasadnienia podzielności przez \(8\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań oraz podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
