Potęgi i pierwiastki
Zadanie 27, maj 2017, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).
Odpowiedź
\(4^{2017}\) + \(4^{2018}\) + \(4^{2019}\) + \(4^{2020}\) = \(4^{2017}\)(\(1 + 4\) + \(4^{2}\) + \(4^{3}\)) = \(4^{2017}\cdot 85\) = \(4^{2017}\)·\(5\cdot 17\). Liczba ma więc czynnik \(17\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(27\). (\(0-2\))
**Krok \(2\).** V. Rozumowanie
**Krok \(3\).** i argumentacja.
**Krok \(4\).** l. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe
**Krok \(5\).** własności potęg (l. \(5\)).
**Krok \(6\).** Przykładowe rozwiązanie
**Krok \(7\).** Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias \(42017\) (\(1 + 4+ 42 +43\)) . Doprowadzamy liczbę do
**Krok \(8\).** \(2017\)
**Odpowiedź.** \(4^{2017}\) + \(4^{2018}\) + \(4^{2019}\) + \(4^{2020}\) = \(4^{2017}\)(\(1 + 4\) + \(4^{2}\) + \(4^{3}\)) = \(4^{2017}\cdot 85\) = \(4^{2017}\)·\(5\cdot 17\). Liczba ma więc czynnik \(17\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zdający zapisze liczbę \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potęgą \(4^k\), gdzie \(1985\le k\le 2017\), np. \(4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\), i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
**2 pkt** – gdy przeprowadzi poprawny dowód.
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg (1.5).
