Okręgi i koła
Zadanie 28, maj 2017, poziom podstawowy
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz
\[|\angle APC|=\alpha,\qquad |\angle ABC|=\beta.\]
Wykaż, że
\[\alpha=180^\circ-2\beta.\]
Odpowiedź
\[\alpha=180^\circ-2\beta.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta \(AB\) jest styczna w punkcie \(B\) do okręgu o środku \(R\), więc \(|\angle ABR|=90^\circ\). Stąd
\[|\angle CBR|=90^\circ-\beta.\]
Trójkąt \(BRC\) jest równoramienny, ponieważ \(|RB|=|RC|\). Zatem \(|\angle BCR|=90^\circ-\beta\), a więc
\[|\angle BRC|=180^\circ-2(90^\circ-\beta)=2\beta.\]
Suma miar kątów czworokąta \(ABRP\) jest równa \(360^\circ\). Ponadto \(|\angle PAB|=|\angle ABR|=90^\circ\), \(|\angle BRP|=2\beta\) oraz \(|\angle APR|=\alpha\). Otrzymujemy
\[90^\circ+90^\circ+2\beta+\alpha=360^\circ,\]
czyli \(\alpha=180^\circ-2\beta\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przeprowadzenie rozumowania i wykazanie, że \(\alpha=180^\circ-2\beta\)
**1 pkt** – zapisanie układu warunków wystarczających do udowodnienia tezy, np. \(\delta=90^\circ-\beta\), \(2\delta+\eta=180^\circ\) i \(\alpha+\eta=180^\circ\), albo równoważnego zestawu zależności kątowych
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
styczna do okręgu jest prostopadła do promienia; zależności kątowe w trójkącie i czworokącie.
