Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, maj 2014, poziom podstawowy
Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Odpowiedź
Dla każdej takiej liczby \(k\) zachodzi
\[3k^2\equiv5\pmod7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Skoro liczba całkowita \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), to dla pewnego \(m\in\mathbb Z\) mamy
\[k=7m+2.\]
Wtedy
\[3k^2=3(7m+2)^2=147m^2+84m+12.\]
Przekształcamy ostatnie wyrażenie:
\[3k^2=7(21m^2+12m+1)+5.\]
Liczba \(21m^2+12m+1\) jest całkowita, więc reszta z dzielenia \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne uzasadnienie, że \(3k^2=7q+5\) dla pewnego \(q\in\mathbb Z\), lub równoważny poprawny dowód kongruencyjny
**1 pkt** – poprawne zapisanie \(k=7m+2\) i rozpoczęcie obliczania \(3(7m+2)^2\), lecz bez pełnego uzasadnienia tezy
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia (V.2.a).
