Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 31, maj 2013, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba
\[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\]
jest podzielna przez \(17\).
Odpowiedź
Liczba jest podzielna przez \(17\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyłączamy przed nawias najniższą występującą potęgę, czyli \(6^{98}\):
\[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=6^{98}\left(6^{2}-2\cdot6+10\right).\]
Obliczamy wartość nawiasu:
\[36-12+10=34=2\cdot17.\]
Zatem
\[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=17\cdot\left(2\cdot6^{98}\right),\]
a liczba \(2\cdot6^{98}\) jest całkowita, więc cała liczba jest podzielna przez \(17\).
**Odpowiedź.** Liczba \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) jest podzielna przez \(17\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie liczby w postaci iloczynu z czynnikiem 6ᵏ dla 80 ≤ k ≤ 98, np. 6⁹⁸(6² − 2·6 + 10).
2 pkt: zapisanie postaci, z której wynika podzielność przez 17, albo inne pełne uzasadnienie.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g).
