Trójkąty
Zadanie 32, maj 2013, poziom podstawowy
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[\lvert\angle BAC\rvert=60^\circ,\qquad \lvert\angle ABC\rvert=45^\circ,\qquad \lvert\angle ACB\rvert=75^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle BAS\rvert\). Z warunków zadania \(\lvert\angle CBS\rvert=2\alpha\) oraz \(\lvert\angle ACS\rvert=3\alpha\).
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego, więc \(\lvert SA\rvert=\lvert SB\rvert=\lvert SC\rvert\) i trójkąty \(ABS\), \(BCS\), \(CAS\) są równoramienne. Kąty przy ich podstawach są równe:
\[\lvert\angle ABS\rvert=\lvert\angle BAS\rvert=\alpha,\qquad \lvert\angle BCS\rvert=\lvert\angle CBS\rvert=2\alpha,\qquad \lvert\angle CAS\rvert=\lvert\angle ACS\rvert=3\alpha.\]
Trójkąt jest ostrokątny, więc \(S\) leży wewnątrz niego i każdy kąt trójkąta jest sumą dwóch kątów przy tym samym wierzchołku:
\[\lvert\angle BAC\rvert=\alpha+3\alpha=4\alpha,\qquad \lvert\angle ABC\rvert=\alpha+2\alpha=3\alpha,\qquad \lvert\angle ACB\rvert=2\alpha+3\alpha=5\alpha.\]
Z sumy kątów trójkąta
\[4\alpha+3\alpha+5\alpha=180^\circ,\qquad 12\alpha=180^\circ,\qquad \alpha=15^\circ.\]
Zatem kąty trójkąta mają miary \(60^\circ\), \(45^\circ\) i \(75^\circ\); wszystkie są ostre, więc założenie o ostrokątności jest spełnione.
**Odpowiedź.** \(\lvert\angle BAC\rvert=60^\circ\), \(\lvert\angle ABC\rvert=45^\circ\), \(\lvert\angle ACB\rvert=75^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – zapisanie kątów \(BAS\), \(CBS\), \(ACS\) za pomocą jednej zmiennej i wykorzystanie równoramienności trójkątów \(ABS\), \(BCS\), \(CAS\).
**3 pkt** – zapisanie równania \(4\alpha+3\alpha+5\alpha=180^\circ\).
**4 pkt** – obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\).
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich (IV.7.c).
