Okręgi i koła
Zadanie 7, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\). Wykaż, że jeżeli
\[|\angle ADB|=|\angle ACB|,\]
to
\[|\angle BAC|=|\angle BDC|.\]
Odpowiedź
\[|\angle BAC|=|\angle BDC|.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ czworokąt \(ABCD\) jest wypukły i punkty są jego kolejnymi wierzchołkami, punkty \(C\) i \(D\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\). Z warunku
\[|\angle ADB|=|\angle ACB|\]
wynika, że punkty \(C\) i \(D\) należą do tego samego łuku okręgu przechodzącego przez \(A\) i \(B\). Czworokąt \(ABCD\) jest więc wpisany w okrąg. Kąty \(BAC\) i \(BDC\) są kątami wpisanymi opartymi na tej samej cięciwie \(BC\), zatem mają równe miary:
\[|\angle BAC|=|\angle BDC|.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne uzasadnienie równości kątów \(BAC\) i \(BDC\)
**2 pkt** – uzasadnienie, że na czworokącie \(ABCD\) można opisać okrąg
**1 pkt** – istotny krok prowadzący do współokręgowości, np. wykazanie równości promieni okręgów opisanych na trójkątach \(ACB\) i \(ADB\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie własności kątów wpisanych i czworokątów wpisanych w okrąg.
