Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Liczba \(\log_{5}\sqrt[3]{25}\) jest równa
**A.** \(\frac{1}{6}\)
**B.** \(\frac{2}{3}\)
**C.** \(\frac{3}{2}\)
**D.** \(6\)
Podpowiedź
Zapisz \(\sqrt[3]{25}\) jako potęgę liczby \(5\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Korzystamy z definicji logarytmu: \(\log_a a^r=r\).
Rozwiązanie
Mamy \(25=5^2\), więc \[\sqrt[3]{25}=(5^2)^{1/3}=5^{2/3}.\] Stąd \[\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5 5^{2/3}=\frac{2}{3}.\]
Sprawdzenie
Liczba \(\sqrt[3]{25}\) leży między \(1\) i \(5\), dlatego jej logarytm przy podstawie \(5\) powinien leżeć między \(0\) i \(1\).
Odpowiedź
**B.** \(\frac{2}{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Argument zapisujemy jako potęgę podstawy:
\[\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac23}.\]
Z definicji logarytmu \(\log_a a^k=k\), więc
\[\log_5\sqrt[3]{25}=\frac23.\]
**Odpowiedź.** **B.** \(\frac23\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.6) Zdający wykorzystuje definicję logarytmu […];
1.5) Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg […].
