Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, czerwiec 2024, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).**
Odpowiedź
Liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\) dla każdego \(n\in\mathbb N\), \(n\geq1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy wyrażenie na czynniki:
\[5n^3-5n=5n(n^2-1)=5n(n-1)(n+1).\]
Liczby \(n-1\), \(n\), \(n+1\) są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi. Wśród nich co najmniej jedna jest podzielna przez \(2\), a dokładnie jedna jest podzielna przez \(3\). Iloczyn \(n(n-1)(n+1)\) jest więc podzielny przez \(2\cdot3=6\). Ponieważ całe wyrażenie ma dodatkowo czynnik \(5\), jest podzielne przez
\[2\cdot3\cdot5=30.\]
To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie \(5n^3-5n\) do postaci \(5n(n-1)(n+1)\) oraz uzasadnienie, że wśród trzech kolejnych liczb \(n-1,n,n+1\) co najmniej jedna jest podzielna przez \(2\) i dokładnie jedna przez \(3\)
**1 pkt** – przekształcenie \(5n^3-5n\) do postaci \(5n(n-1)(n+1)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, sprawdzono jedynie wybrane wartości \(n\), albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzanie rozumowań, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
