Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Odpowiedź
Reszta z dzielenia przez \(7\) jest równa \(5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy wyrażenie:
\[49k^2+7k-2=49k^2+7k-7+5=7(7k^2+k-1)+5.\]
Ponieważ \(k\) jest liczbą całkowitą, liczba \(7k^2+k-1\) także jest całkowita. Składnik \(7(7k^2+k-1)\) jest więc podzielny przez \(7\), a reszta z dzielenia całego wyrażenia przez \(7\) wynosi \(5\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie \(7(7k^2+k-1)+5\) oraz stwierdzenie, że \(7k^2+k-1\) jest liczbą całkowitą
**1 pkt** – przekształcenie do postaci \(7(7k^2+k-1)+5\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
