Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\)
jest równa \(6\).
Odpowiedź
Teza została wykazana: reszta z dzielenia przez \(8\) jest równa \(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Cztery kolejne liczby naturalne zapisujemy jako \(n,\ n+1,\ n+2,\ n+3\). Suma ich kwadratów wynosi
\[n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2}=4n^{2}+12n+14.\]
Rozpatrujemy dwa przypadki ze względu na parzystość \(n\).
Jeżeli \(n=2k\), to
\[4n^{2}+12n+14=16k^{2}+24k+14=8\left(2k^{2}+3k+1\right)+6.\]
Jeżeli \(n=2k+1\), to
\[4n^{2}+12n+14=16k^{2}+16k+4+24k+12+14=16k^{2}+40k+30=8\left(2k^{2}+5k+3\right)+6.\]
W obu przypadkach liczba w nawiasie jest całkowita, a reszta wynosi \(6\), przy czym \(0\le6<8\).
**Odpowiedź.** Reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne przekształcenie sumy. 2 pkt: pełne uzasadnienie dla parzystego i nieparzystego n.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
