Trójkąty
Zadanie 29, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że
\(EC = 2 DE , a\) na boku AB wybrano taki punkt F, że \(BF = DE\) . Niech P oznacza punkt
przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są
przystające.
E
D C
F
A B
P
Odpowiedź
Trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(E\) leży na boku \(DC\), \(F\) na boku \(AB\), a punkt \(P\) — przecięcie prostych \(EF\) i \(BC\) — leży poniżej boku \(AB\), na przedłużeniu boku \(CB\).
Oznaczmy \(\lvert DE\rvert=d\) oraz \(\lvert AD\rvert=h\). Wtedy \(\lvert EC\rvert=2d\), więc \(\lvert DC\rvert=\lvert AB\rvert=3d\) oraz \(\lvert BF\rvert=d\).
Kluczowy krok to wyznaczenie \(\lvert BP\rvert\); przeprowadzimy go w układzie współrzędnych. Przyjmijmy \(A=(0,0)\), \(B=(3d,0)\), \(C=(3d,h)\), \(D=(0,h)\). Wtedy \(E=(d,h)\) oraz \(F=(2d,0)\). Wektor \(\vec{EF}=[d,-h]\), więc prosta \(EF\) osiąga \(x=3d\) dla \(y=-h\), czyli
\[P=(3d,-h),\qquad \lvert BP\rvert=h=\lvert AD\rvert.\]
Kąty \(ADE\) i \(FBP\) są proste: pierwszy jest kątem prostokąta przy wierzchołku \(D\), drugi — kątem między bokiem \(AB\) a prostą \(BC\).
Trójkąty \(AED\) i \(FPB\) mają zatem kąty proste odpowiednio przy \(D\) i przy \(B\) oraz równe przyprostokątne:
\[\lvert DE\rvert=\lvert BF\rvert=d,\qquad \lvert DA\rvert=\lvert BP\rvert=h.\]
Z cechy bok-kąt-bok są przystające, co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wykazanie równości \(\lvert BP\rvert=\lvert AD\rvert\) albo innej istotnej zależności między odcinkami.
**2 pkt** – pełny dowód przystawania trójkątów \(AED\) i \(FPB\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
