Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 30, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba
\[\left(1+2013^2\right)\left(1+2013^4\right)\]
jest dzielnikiem liczby
\[1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7.\]
Odpowiedź
Liczba \(\left(1+2013^{2}\right)\left(1+2013^{4}\right)\) jest dzielnikiem podanej sumy.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(x=2013\). Rozważana suma to
\[1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}.\]
Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki:
\[(1+x)+x^{2}(1+x)+x^{4}(1+x)+x^{6}(1+x)=(1+x)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}\right).\]
Drugi nawias grupujemy tak samo:
\[1+x^{2}+x^{4}+x^{6}=\left(1+x^{2}\right)+x^{4}\left(1+x^{2}\right)=\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right).\]
Zatem
\[1+x+\ldots+x^{7}=(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right).\]
Iloczyn \(\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)\) jest więc dzielnikiem tej liczby, a ilorazem jest liczba całkowita \(1+x=2014\).
**Odpowiedź.** \(\left(1+2013^{2}\right)\left(1+2013^{4}\right)\) jest dzielnikiem liczby \(1+2013+\ldots+2013^{7}\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: częściowy poprawny rozkład na czynniki. 2 pkt: pełny dowód podzielności.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
