Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 29, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.
Odpowiedź
\(630\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy cyfry liczby czterocyfrowej przez \(t\) (tysiące), \(s\) (setki), \(d\) (dziesiątki), \(j\) (jedności). Warunek zadania to
\[j=s+3.\]
Cyfry \(s\) i \(j\) są więc powiązane: wybór \(s\) wyznacza \(j\) jednoznacznie. Musi zachodzić \(s+3\leq9\), czyli \(s\leq6\); cyfra setek może być zerem, więc \(s\in\{0,1,\ldots,6\}\) — to \(7\) możliwości.
Cyfra tysięcy nie może być zerem, co daje \(9\) możliwości, a cyfra dziesiątek jest zupełnie dowolna — \(10\) możliwości. Wybory są niezależne, więc z reguły mnożenia
\[9\cdot7\cdot10=630.\]
**Odpowiedź.** \(630\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozpoznanie 7 par cyfr setek i jedności albo 90 ustawień pozostałych cyfr. 2 pkt: 9·10·7=630.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.
