Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez \(6\) lub podzielnych przez \(15\).
Odpowiedź
Takich liczb jest \(180\). Trzycyfrowych wielokrotności \(6\) jest \(150\), wielokrotności \(15\) jest \(60\), a wielokrotności obu liczb, czyli \(30\), jest \(30\). Z zasady włączeń i wyłączeń: \(150+60\)−\(30=180\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Spójnik lub oznacza sumę dwóch zbiorów: liczb podzielnych przez \(6\) i liczb podzielnych przez \(15\). Zbiory te zachodzą na siebie (są liczby podzielne jednocześnie przez \(6\) i przez \(15\)), więc nie wolno po prostu dodać ich liczebności — używamy zasady włączeń i wyłączeń
\[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.\]
**Krok \(2\).** Liczby trzycyfrowe to liczby od \(100\) do \(999\).
**Krok \(3\).** Wielokrotności \(6\): najmniejsza trzycyfrowa to \(102\), największa to \(996\). Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy \(6\), więc jest ich
\[\frac{996-102}{6}+1=\frac{894}{6}+1=149+1=150.\]
**Krok \(4\).** Wielokrotności \(15\): od \(105\) do \(990\), różnica \(15\), zatem jest ich
\[\frac{990-105}{15}+1=\frac{885}{15}+1=59+1=60.\]
**Krok \(5\).** Część wspólna to liczby podzielne jednocześnie przez \(6\) i przez \(15\), czyli podzielne przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność. Ponieważ \(6=2\cdot3\) i \(15=3\cdot5\), mamy \(\mathrm{NWW}(6,15)=2\cdot3\cdot5=30\).
**Krok \(6\).** Wielokrotności \(30\): od \(120\) do \(990\), różnica \(30\), więc jest ich
\[\frac{990-120}{30}+1=29+1=30.\]
**Krok \(7\).** Podstawiamy do wzoru:
\[150+60-30=180.\]
**Uwaga.** Najczęstsza pomyłka to przyjęcie, że liczby podzielne przez \(6\) i przez \(15\) to liczby podzielne przez \(6\cdot15=90\). Wspólny czynnik \(3\) liczymy tylko raz, dlatego właściwą liczbą jest \(30\). Druga pułapka to zapomnienie o odjęciu części wspólnej, co daje błędne \(210\).
**Odpowiedź.** Takich liczb jest \(180\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy stosuje poprawną metodę rozwiązania zadania i popełnia błędy w obliczeniu \(\lvert A_{6}\rvert\) lub \(\lvert A_{15}\rvert\).
**2 pkt** – gdy stosując poprawną metodę rozwiązania zadania obliczy \(\lvert A_{6}\rvert\) oraz \(\lvert A_{15}\rvert\) i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy \(\lvert A_{30}\rvert\).
**3 pkt** – gdy rozwiąże zadanie bezbłędnie.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV.10.R).
