Trygonometria
Zadanie 8, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
W czworokącie \(ABCD\) dane są długości boków:
\[|AB|=24,\qquad |CD|=15,\qquad |AD|=7.\]
Ponadto kąty \(DAB\) oraz \(BCD\) są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.
Odpowiedź
\[P_{ABCD}=234,\qquad \lvert BD\rvert=25,\qquad \lvert AC\rvert=20.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(DAB\) jest prosty, więc w trójkącie \(ABD\) z twierdzenia Pitagorasa
\[\lvert BD\rvert=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=\sqrt{625}=25.\]
Kąt \(BCD\) też jest prosty, a \(BD\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(BCD\), więc
\[\lvert BC\rvert=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=\sqrt{400}=20.\]
Pole czworokąta jest sumą pól dwóch trójkątów prostokątnych:
\[P=\tfrac12\cdot24\cdot7+\tfrac12\cdot15\cdot20=84+150=234.\]
Ponieważ kąty \(DAB\) i \(BCD\) są proste, ich suma wynosi \(180^\circ\), więc na czworokącie \(ABCD\) można opisać okrąg, a \(BD\) jest jego średnicą. Z twierdzenia Ptolemeusza dla czworokąta wpisanego w okrąg
\[\lvert AC\rvert\cdot\lvert BD\rvert=\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert+\lvert AD\rvert\cdot\lvert BC\rvert,\]
\[25\lvert AC\rvert=24\cdot15+7\cdot20=500,\qquad \lvert AC\rvert=20.\]
**Odpowiedź.** \(P_{ABCD}=234\), \(\lvert BD\rvert=25\), \(\lvert AC\rvert=20\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – obliczenie długości przekątnej \(BD\): \(\lvert BD\rvert=25\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie długości boku \(BC\) oraz pola czworokąta: \(P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD}=234\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zauważenie, że przekątna \(BD\) jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie \(ABCD\) (czyli również na trójkącie \(ABC\)) i zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczenia przekątnej \(AC\); albo zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia przekątnej \(AC\): \(\lvert AC\rvert^{2}=\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}-2\lvert AB\rvert\cdot\lvert BC\rvert\cdot\cos\lvert\angle ABC\rvert\); albo zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza do obliczenia przekątnej \(AC\): \(\lvert AC\rvert\cdot\lvert BD\rvert=\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert+\lvert BC\rvert\cdot\lvert AD\rvert\).
**Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** – obliczenie długości przekątnej \(AC\) z błędem rachunkowym.
**Rozwiązanie pełne** – obliczenie długości przekątnej \(AC\): \(\lvert AC\rvert=20\).
Uwaga: jeżeli zdający obliczy pole czworokąta \(ABCD\) popełniając błędy rachunkowe i na tym poprzestanie lub dalej błędnie rozwiązuje zadanie, to otrzymuje \(1\) punkt.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii (III.7.d.R).
