Funkcje
Zadanie 10, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Na płaszczyźnie dane są punkty
\[A=(3,-2)\qquad\text{i}\qquad B=(11,4).\]
Na prostej o równaniu
\[y=8x+10\]
znajdź punkt \(P\), dla którego suma
\[|AP|^2+|BP|^2\]
jest najmniejsza.
Odpowiedź
\(P=(-1,2)\). Punkt prostej ma postać \(P=(x,8x+10)\), a suma \(|AP|^2+|BP|^2\) jest funkcją \(f(x)=130x^2+260x+310\), która najmniejszą wartość osiąga dla \(x=-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Szukany punkt ma leżeć na danej prostej, więc opiszmy go jedną zmienną. Wtedy suma \(|AP|^2+|BP|^2\) stanie się funkcją tej zmiennej, a że w odległościach występują kwadraty, będzie to funkcja kwadratowa — a najmniejszą wartość funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku przy \(x^2\) znajdujemy w wierzchołku paraboli.
**Krok \(2\).** Punkt prostej \(y=8x+10\) ma postać
\[P=(x,\ 8x+10).\]
**Krok \(3\).** Liczymy pierwszy składnik, korzystając ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(A=(3,-2)\):
\[|AP|^2=(x-3)^2+\big(8x+10-(-2)\big)^2=(x-3)^2+(8x+12)^2.\]
**Krok \(4\).** Podobnie dla \(B=(11,4)\):
\[|BP|^2=(x-11)^2+(8x+10-4)^2=(x-11)^2+(8x+6)^2.\]
**Krok \(5\).** Rozwijamy wszystkie kwadraty:
\[(x-3)^2=x^2-6x+9,\qquad (8x+12)^2=64x^2+192x+144,\]
\[(x-11)^2=x^2-22x+121,\qquad (8x+6)^2=64x^2+96x+36.\]
**Krok \(6\).** Dodajemy stronami i redukujemy wyrazy podobne:
\[f(x)=130x^2+(-6+192-22+96)x+(9+144+121+36)=130x^2+260x+310.\]
**Krok \(7\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(130\gt 0\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i w wierzchołku przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka:
\[x_w=\frac{-260}{2\cdot130}=-1.\]
**Krok \(8\).** Wracamy do równania prostej: \(y=8\cdot(-1)+10=2\), więc \(P=(-1,2)\).
**Uwaga.** Nie liczymy tu miejsc zerowych funkcji \(f\) (parabola leży w całości nad osią \(OX\)) ani nie szukamy pierwiastków — interesuje nas wyłącznie wierzchołek. Warto też sprawdzić, że otrzymany punkt faktycznie leży na prostej, bo drugą współrzędną wyznaczamy właśnie z jej równania.
**Odpowiedź.** \(P=(-1,2)\); najmniejsza wartość sumy wynosi \(f(-1)=130-260+310=180\).
Klucz i zasady oceniania
**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie za pomocą niewiadomej \(x\) współrzędnych punktu \(P\): \(P=(x,8x+10)\).
**2 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=130x^{2}+260x+310\).
**3 pkt** – obliczenie \(x\), dla którego funkcja \(f(x)=130x^{2}+260x+310\) przyjmuje wartość najmniejszą.
**Rozwiązanie pełne** – podanie współrzędnych punktu \(P\), dla którego suma \(\lvert AP\rvert^{2}+\lvert BP\rvert^{2}\) przyjmuje najmniejszą wartość: \(P=(-1,2)\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (IV.8.e, 4.k).
