Zadanie 29 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

Teza została uzasadniona: reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(2\).

Trzy kolejne liczby całkowite zapisujemy symetrycznie jako \(n-1\), \(n\), \(n+1\), gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą. Suma ich kwadratów wynosi \[(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}=n^{2}-2n+1+n^{2}+n^{2}+2n+1=3n^{2}+2.\] Liczba \(3n^{2}\) jest podzielna przez \(3\), a \(0\le2<3\), więc reszta z dzielenia całej sumy przez \(3\) wynosi dokładnie \(2\). **Odpowiedź.** Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(2\), co należało uzasadnić.

1 pkt: poprawne rozwinięcie sumy kwadratów. 2 pkt: dowód, że reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2.

Zadanie 29. (0–2) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.a) I sposób rozwiązania Weźmy trzy kolejne liczby całkowite n 1, n , n 1. Wówczas  n 12  n2   n 12  n2  2n 1 n2  n2  2n 1  3n2  2 , więc reszta z dzielenia sumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci  n 12  n2   n 12  3n2  2 II sposób rozwiązania Weźmy trzy kolejne liczby całkowite n , n 1, n  2 . Wówczas n2   n 12   n  22  3n2  6n  5  3  n2  2n 1   2 , więc reszta z dzielenia sumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, doprowadzi wyrażenie do postaci n2   n 12   n  22  3n2  6n  5 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci n2   n 12   n  22  3n2  6n  3  2 lub n2   n 12   n  22  3  n2  2n 1   2 . Uwaga Mogą się zdarzyć rozwiązania wykorzystujące kongruencje: wśród trzech kolejnych liczb jest jedna podzielna przez 3 (oznaczymy ją przez a), jedna dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 1 (oznaczymy ją przez b) i jedna dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 2 (oznaczymy ją przez c). Mamy zatem a  0 mod 3 , b  1mod 3 , c  2 mod 3 . Wówczas a2  b2  c2  02 12  22  5  2  mod 3 . Egzamin maturalny z matematyki 11 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy