Zadanie 30 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

an = \(2n\)−\(3\)

Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\). Podstawiamy dany wzór: \[a_n=\left(n^{2}-2n\right)-\left((n-1)^{2}-2(n-1)\right)=n^{2}-2n-\left(n^{2}-4n+3\right)=2n-3.\] Sprawdzamy pierwszy wyraz osobno: \(a_1=S_1=1-2=-1\), a wzór \(2n-3\) dla \(n=1\) również daje \(-1\), więc obowiązuje dla każdego \(n\geq1\). **Odpowiedź.** \(a_n=2n-3\)

1 pkt: wyznaczenie a₁=−1 i a₂=1. 2 pkt: wzór aₙ=2n−3.

Zadanie 30. (0–2) Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego (III.5.c) I sposób rozwiązania Obliczamy wartości sum częściowych: S  a  1 2  1 1 1 S  a  a  4  4  0 . 2 1 2 Zatem a  0   1  1 oraz r  a  a  1 1  2 . 2 2 1 Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy: a  a   n 1 r  1 (n 1)  2  2n  3 n 1 Odpowiedź: n-ty wyraz ciągu a  wyraża się wzorem a  2n  3 . n n Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy obliczy wartości sum częściowych: S  a  1 2  1 1 1 S  a  a  4  4  0 2 1 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu a  : a  2n  3 . n n Uwagi  a  1 1. Zdający może od razu zapisać układ  1 a  a  0  1 2 a  1 2. Jeżeli zdający zapisze układ  1 , to otrzymuje 0 punktów. a  0  2 II sposób rozwiązania Zauważamy, że dla n  1 mamy a  S  S . n n n1 S  n 12  2  n 1  n2  4n  3 n1 Obliczamy a  S  S  n2  2n   n2  4n  3   2n  3 oraz a  S  1. n n n1 1 1 Zauważamy ponadto, że wzór a  2n  3 dla n  1 daje otrzymaną wartość a  1 . n 1 Zatem dla każdego n  1 otrzymujemy a  2n  3 . n Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy zapisze, że a  S  S , wyznaczy S  n 12  2  n 1  n2  4n  3 i na tym n n n1 n1 poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu: a  2n  3 . n 12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Uwaga Przyznajemy 2 punkty nawet wtedy, gdy zdający nie sprawdzi, czy a  1 . 1 III sposób rozwiązania a  a Zauważamy, że 1 n  n  n2  2n i wyznaczamy a  2n  4  a . 2 n 1 Obliczamy a  S  1 . Stąd otrzymujemy a  2n  4 1, czyli a  2n  3 . 1 1 n n Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt a  a gdy ze wzoru 1 n  n  n2  2n wyznaczy a  2n  4  a i na tym poprzestanie 2 n 1 lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy wyznaczy n-ty wyraz ciągu: a  2n  3 . n Uwagi 1. Zdający może od razu zapisać, że a  2n  4  a . n 1 a  a 2. Jeśli zdający zapisze, że 1 n  n  n2  2n , wyznaczy z błędem rachunkowym a np.: 2 n a  2n  2  a i z tym błędem doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 1 punkt. n 1