Zadanie 28 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

Tożsamość została uzasadniona.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i grupujemy je tak, by powstały różnice tych samych potęg: \[\sin^{4}\alpha-\cos^{4}\alpha-\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right).\] Do pierwszej różnicy stosujemy wzór skróconego mnożenia \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) dla \(a=\sin^{2}\alpha\), \(b=\cos^{2}\alpha\): \[\sin^{4}\alpha-\cos^{4}\alpha=\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)=\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha,\] bo z jedynki trygonometrycznej drugi nawias jest równy \(1\). Zatem rozważane wyrażenie jest równe \[\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)-\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)=0,\] a to oznacza, że obie strony badanej równości są równe. Rachunek nie korzystał z założenia o ostrości kąta, więc tożsamość zachodzi dla każdego \(\alpha\). **Odpowiedź.** \(\sin^{4}\alpha+\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha\) dla każdego kąta \(\alpha\), co należało uzasadnić.

1 pkt: poprawne przekształcenie jednej strony. 2 pkt: pełne uzasadnienie tożsamości.

Zadania 28. (0–2) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie tożsamości trygonometrycznej z zastosowaniem prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kata ostrego (V.6.c) I sposób rozwiązania sin4  sin2  cos4  cos2  sin2   sin21   cos2   cos2 1  sin2    cos2    cos2    sin2  L  P Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przekształci lewą lub prawą stronę tej równości do postaci: sin2   sin21  lub cos2  cos2 1  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. II sposób rozwiązania sin4  cos4  sin2  cos2   sin2  cos2    sin2  cos2    sin2  cos2  1  sin2  cos2    sin2  cos2  L  P Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy uzyska po lewej stronie wyrażenie  sin2 cos2   sin2 cos2   i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. III sposób rozwiązania L  sin4  cos2  sin2  sin2 cos2 sin2   1 cos2    cos2   sin2 sin2  cos2  cos2  1  1 cos2   cos2  1 cos2 cos4  sin2 cos4 P Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przekształcając lewą lub prawą stronę równość uzyska wyrażenie sin2  sin2  cos2  cos2  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. Egzamin maturalny z matematyki 9 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy IV sposób rozwiązania sin2  sin2 cos2  sin2 cos4  1 cos2     1 cos2    cos2  1 cos2    cos4  1 2 cos2  cos4  cos2  1 cos2  cos4  1 cos2 cos4 1 cos2 cos4  L  P lub sin4  cos2 sin2  cos2  cos2  sin4   1 sin2    sin2   1 sin2     1 sin2   sin4  sin2 1  sin21 2 sin2  sin4 sin4  sin2 1  sin4 sin21 L  P Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przekształci równość do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np.:  1 cos2     1 cos2    cos2  1 cos2    cos4  lub sin4   1 sin2    sin2   1 sin2     1 sin2   i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeżeli przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. V sposób rozwiązania Daną równość zapisujemy w postaci sin4  cos4  sin2  cos2 . Przekształcamy: L  sin4  cos4    sin2  2  cos4    1  cos2  2  cos4    1  2 cos2  cos4  cos4   1  2 cos2   1  cos2  cos2   sin 2  cos2   P Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy uzyska po lewej stronie wyrażenie  1  cos2  2  cos4  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa. 10 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy