Zadanie 6 – matura z matematyki czerwiec 2011, poziom rozszerzony

Przypuśćmy, że W(x)=a\(x^{3}\)+b\(x^{2}\)+cx+d ma całkowite współczynniki. Z W(\(2\))=\(3\) i W(−\(2\))=\(2\) otrzymujemy \(8a\)+\(4b\)+\(2c\)+d=\(3\) oraz −\(8a\)+\(4b\)−\(2c\)+d=\(2\). Po dodaniu równań mamy \(8b\)+\(2d\)=\(5\), co jest niemożliwe, bo lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta.

**Krok \(1\).** Mamy wykazać, że pewien obiekt nie istnieje. Naturalna metoda to dowód nie wprost: zakładamy, że taki wielomian istnieje, i doprowadzamy do sprzeczności. Ponieważ współczynniki mają być całkowite, sprzeczności szukamy w parzystości. **Krok \(2\).** Przypuśćmy, że istnieje wielomian stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych \[W(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{Z},\ a\neq0,\] spełniający oba warunki. **Krok \(3\).** Z warunku \(W(2)=3\) otrzymujemy \[8a+4b+2c+d=3.\] **Krok \(4\).** Z warunku \(W(-2)=2\) otrzymujemy \[-8a+4b-2c+d=2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy oba równania stronami. Robimy to celowo: składniki z \(a\) i z \(c\) mają przeciwne znaki, więc się zredukują: \[8b+2d=5.\] **Krok \(6\).** Lewą stronę zapisujemy w postaci \(2(4b+d)\). Liczby \(b\) i \(d\) są całkowite, więc \(4b+d\) jest liczbą całkowitą, a zatem lewa strona jest liczbą parzystą. **Krok \(7\).** Prawa strona równa się \(5\), czyli jest nieparzysta. Liczba parzysta nie może być równa nieparzystej — otrzymaliśmy sprzeczność. **Krok \(8\).** Sprzeczność wynikła z założenia o istnieniu takiego wielomianu, więc taki wielomian nie istnieje. **Uwaga.** Nie próbujemy tu rozwiązywać układu równań — ma on cztery niewiadome i dwa równania, więc niczego nie wyznaczymy. Cała siła dowodu tkwi w porównaniu parzystości obu stron. **Odpowiedź.** Gdyby taki wielomian istniał, to z \(W(2)=3\) i \(W(-2)=2\) po dodaniu stronami wynikałoby \(8b+2d=5\), czyli liczba parzysta byłaby równa nieparzystej. Taki wielomian nie istnieje.

Zadanie 6. (3 pkt) Wykaż, że nie istnieje wielomian W (x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowityc który spełnia warunki: W (2) = 3 i 2 I sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W (x) = ax3 + bx2 + cx+d , gdz a, b, c, d są liczbami całkowitymi Ponieważ W (2) = 3 , to 8a +4b+ 2c+ d = 3 i ponieważ W 2) = 2, to —8a +4b—2c+d = 2 Po dodaniu otrzymanych równań stronami otrzymujemy równanie 8b+ 2d = 5 , co 2 (4b + d) = 5 . Ponieważ prawa strona równania jest nieparzysta, a lewa jest parzysta (b, d zgodnie z założeniem liczbami całkowitymi), to zapisujemy wniosek, że taki wielomian n istnieje. II sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W (x) = ax3 + bx2 + cx+d , gdz a, b, c, d są liczbami całkowitymi Ponieważ W (2) = 3 , to 8a + 4b + 2c + d = 3 , zatem d musi być liczbą nieparzystą. Ponieważ W 2) = 2 , to —8a + 4b — 2c + d = 2 , zatem d musi być liczbą parzystą. Zatem nie istnieje wielomian spełniający warunki zadania. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje wielomian stopnia drugiego zamiast stopnia trzeciego, to otrzymu O punktów. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełne! rozwiązania Zapisanie ogólnej postaci wielomianu trzeciego stopnia: W (x) = ax3 + bx2 + cx + d , gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................... Zapisanie układu równań z niewiadomymi a, b, c, d: 8a+4b+2c+d=3 -8a+4b-2c+d=2 Rozwiązanie pełne Dodanie stronami obu równań: 8b + 2d = 5 oraz • zauważenie, że lewa strona równania 8b + 2d = 5 jest parzysta, a prawa nieparzys i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomian spełniający podane warunki albo • zauważenie, że d w równaniu 8a+4b+2c+d = 3 musi być nieparzyste, a w równan —8a+4b—2c+d = 2 parzyste i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomu spełniający podane warunki 2011-09-14 Uwagi: 12 Poziom rozszerzony l. Jeżeli zdający zauważy, że d w równaniu 8a+4b+2c+d = 3 jest nieparzyste, a równaniu —8a+4b—2c+d = 2 jest parzyste i nie sformułuje wniosku, to otrzymu 2 punkty. 2. Jeżeli zdający zauważy, że lewa strona równania 8b + 2d = 5 jest parzysta, a prav nieparzysta i nie sformułuje wniosku, to otrzymuje 2 punkty 2011-09-14 13

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozumowanie o parzystości wartości wielomianu o współczynnikach całkowitych.