Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 7, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\), w którym \(|AC|=5\) i \(|AB|=8\). Pole tego trójkąta jest równe \(10\sqrt3\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Odpowiedź
\[R=\frac{7\sqrt3}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle CAB\rvert\). Ze wzoru na pole trójkąta
\[P=\tfrac12\lvert AC\rvert\cdot\lvert AB\rvert\sin\alpha,\qquad 10\sqrt3=\tfrac12\cdot5\cdot8\cdot\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}.\]
Trójkąt jest ostrokątny, więc \(\alpha<90^\circ\); spośród dwóch kątów o sinusie \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) wybieramy \(\alpha=60^\circ\), a nie \(120^\circ\). Wtedy \(\cos\alpha=\tfrac12\).
Z twierdzenia cosinusów
\[\lvert BC\rvert^{2}=5^{2}+8^{2}-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=89-40=49,\qquad \lvert BC\rvert=7.\]
Bok \(BC\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), więc z twierdzenia sinusów
\[2R=\frac{\lvert BC\rvert}{\sin\alpha}=\frac{7}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{14}{\sqrt3},\qquad R=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
Zadanie 7. (4 pkt)
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym ACI = 5 i I ABI = 8 . Pole tego trójkąta jest
równe . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie
Oznaczamy = a oraz R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Obliczamy sina ze wzoru na pole trójkąta;
5 • 8 • sina
AD =
2
= I stąd sin a —
2
1
a jest kątem ostrym Więc cosa =
2
Korzystamy z tw. cosinusów do obliczenia długości boku BC:
IBc12 IBcI=7
Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC obliczamy korzystając z tw. sinusów:
70
7
czyli R
3
2
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązan
zadania
Obliczenie sina : sina =
2
Istotny postęp.
1
• obliczenie cosa = —
2
albo
• obliczenie długości odcinków, na jakle wysokość trójkąta dzieli bok AB.
IBDI = 5,51ub dla boku AC: i ECI=I
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .
Obliczenie IBCI: IBcI=7.
Rozwiązanie pełne
70
Obliczenie: R —
3
Uwaga:
l. Jeżeli zdający w obliczeniach popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnioneś
błędu obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, to przyznajen
4 punkty.
2011-09-14
14
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: zastosowanie wzoru na pole oraz twierdzeń sinusów i cosinusów w trójkącie.
