Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba
\[n^2+2023\]
jest podzielna przez \(8\).
Odpowiedź
Liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(n\) będzie nieparzystą liczbą całkowitą. Wtedy \(n=2k+1\) dla pewnego \(k\in\mathbb Z\). Zatem
\[n^2+2023=(2k+1)^2+2023=4k(k+1)+2024.\]
Liczby \(k\) i \(k+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(4k(k+1)\) jest zatem podzielny przez \(8\). Ponadto
\[2024=8\cdot253.\]
Oba składniki są podzielne przez \(8\), więc ich suma również jest podzielna przez \(8\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**1 pkt** – zapisanie \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\), oraz przekształcenie do postaci \(4k(k+1)+2024\) lub równoważnej, ujawniającej czynnik \(4\) i liczbę parzystą
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań i odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
