Potęgi i pierwiastki
Zadanie 28, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Uzasadnij, że liczba
\[4^{12}+4^{13}+4^{14}\]
jest podzielna przez \(42\).
Odpowiedź
\[4^{12}+4^{13}+4^{14}=42\cdot2\cdot4^{11}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wyłączamy \(4^{12}\) przed nawias: \[4^{12}+4^{13}+4^{14}=4^{12}(1+4+16)=21\cdot4^{12}.\] Ponieważ \(4^{12}=2\cdot(2\cdot4^{11})\), mamy \[21\cdot4^{12}=42\cdot(2\cdot4^{11}).\] Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc dana liczba jest podzielna przez \(42\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne uzasadnienie podzielności przez \(42\)
**1 pkt** – poprawne wyłączenie \(4^{12}\) i otrzymanie \(21\cdot4^{12}\)
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i podzielność liczb całkowitych.
