Okręgi i koła
Zadanie 27, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość \(10\) i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.
Odpowiedź
\[P=25\pi.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy promienie okręgów przez \(R\) i \(r\). Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do cięciwy i dzieli ją na połowy, każda o długości \(5\). W powstałym trójkącie prostokątnym \[R^2=r^2+5^2,\] więc \(R^2-r^2=25\). Pole pierścienia wynosi zatem \[P=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)=25\pi.\] Wzór nie zawiera żadnego z promieni.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne wykazanie, że pole pierścienia wynosi \(25\pi\)
**1 pkt** – uzyskanie zależności \(R^2-r^2=25\) z twierdzenia Pitagorasa
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria płaska, cięciwa, styczność, twierdzenie Pitagorasa i pole pierścienia.
