Liczby rzeczywiste
Zadanie 12, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\[f(x)=\frac{2x^4+15}{6-x^2}\]
dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), takich że \(x\neq-\sqrt6\) i \(x\neq\sqrt6\). Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie \(x=1\). Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego wyniku.
Odpowiedź
\[f'(1)=\frac{74}{25}=2{,}96.\] Należy zakodować cyfry \(2,9,6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:
\[f'(x)=\frac{8x^3(6-x^2)+2x(2x^4+15)}{(6-x^2)^2}=\frac{2x(-2x^4+24x^2+15)}{(6-x^2)^2}.\]
Dla \(x=1\) otrzymujemy
\[f'(1)=\frac{2(-2+24+15)}{5^2}=\frac{74}{25}=2{,}96.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna wartość \(f'(1)=2{,}96\) i kod \(296\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
11.2. R. Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych.
