Trójkąty
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa \(24\). Wyznacz promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość.
Odpowiedź
Promień jest równy \(16\), a największa objętość wynosi \(512\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza promień okręgu opisanego na równobocznej podstawie, a \(h=24-x\) wysokość ostrosłupa, gdzie \(0<x<24\). Bok podstawy ma długość \(x\sqrt3\), więc jej pole wynosi \(\frac{3\sqrt3}{4}x^2\). Objętość jest zatem równa
\[V(x)=\frac{\sqrt3}{4}x^2(24-x).\]
Pochodna ma postać
\[V'(x)=\frac{3\sqrt3}{4}x(16-x).\]
Funkcja rośnie dla \(0<x<16\) i maleje dla \(16<x<24\), więc maksimum osiąga dla \(x=16\). Wtedy
\[V(16)=\frac{\sqrt3}{4}\cdot16^2\cdot8=512\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 7 pkt** – poprawny promień \(16\) i objętość \(512\sqrt3\) z pełną analizą maksimum
**5: 6 pkt** – poprawny model i pochodna, z drobnym błędem w analizie lub wyniku
**3: 4 pkt** – poprawna funkcja \(V(x)=\frac{\sqrt3}{4}x^2(24-x)\) i rozpoczęta optymalizacja
**1: 2 pkt** – poprawne wyrażenie wysokości lub pola podstawy
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia.
**Wymagania szczegółowe:**
11.6. R. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
