Funkcje
Zadanie 4, maj 2016, poziom rozszerzony
Funkcja
\[f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\]
jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
**A.** \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
**B.** \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
**C.** \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
**D.** \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Odpowiedź
**A.** \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Funkcja jest ilorazem dwóch wielomianów, więc różniczkujemy ją wzorem na pochodną ilorazu:
\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.\]
Kolejność w liczniku jest istotna — to **nie** jest wyrażenie symetryczne.
**Krok \(2\).** Nazywamy części i liczymy ich pochodne:
\[u=3x-1,\quad u'=3,\qquad v=x^{2}+4,\quad v'=2x.\]
**Krok \(3\).** Wstawiamy do wzoru:
\[f'(x)=\frac{3\cdot(x^{2}+4)-(3x-1)\cdot 2x}{(x^{2}+4)^{2}}.\]
**Krok \(4\).** Porządkujemy licznik. Najpierw wymnażamy oba iloczyny:
\[3(x^{2}+4)=3x^{2}+12,\qquad (3x-1)\cdot2x=6x^{2}-2x.\]
Teraz odejmujemy **cały** drugi iloczyn:
\[3x^{2}+12-(6x^{2}-2x)=3x^{2}+12-6x^{2}+2x=-3x^{2}+2x+12.\]
**Krok \(5\).** Zapisujemy pochodną:
\[f'(x)=\frac{-3x^{2}+2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}.\]
**Krok \(6\).** Szybka kontrola przez podstawienie \(x=0\): ze wzoru z Kroku \(3\) mamy \(f'(0)=\frac{3\cdot4-(-1)\cdot0}{16}=\frac{12}{16}\), a w naszym wyniku licznik dla \(x=0\) wynosi \(12\). Zgadza się, więc odpowiedzi B i C (z \(-12\)) odpadają.
**Uwaga.** Minus przed drugim iloczynem dotyczy obu jego wyrazów: \(-(6x^{2}-2x)=-6x^{2}+2x\). Zgubienie tego znaku prowadzi wprost do błędnej odpowiedzi B.
**Odpowiedź.** A: \(f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź A
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** rachunek różniczkowy - pochodna ilorazu funkcji.
