Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 7, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(1\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wartość pochodnej funkcji \(f\) w punkcie \(x=a\) jest równa \(-\frac{1}{2}a\).
Odpowiedź
\(a=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(x\neq1\) mamy
\[f'(x)=\frac{ax^{2}-2ax-1}{(x-1)^{2}}.\]
Warunek \(f'(a)=-\frac{1}{2}a\), przy \(a\neq1\), prowadzi do równania
\[(3a^{2}+1)(a-2)=0.\]
Ponieważ \(3a^{2}+1>0\) dla \(a\in\mathbb{R}\), jedynym rozwiązaniem jest \(a=2\).
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\), np. \(f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-(ax^{2}+x)\cdot 1}{(x-1)^{2}}\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a\), np.
\[\frac{(2a^{2}+1)(a-1)-(a^{3}+a)\cdot 1}{(a-1)^{2}}=-\frac{1}{2}a\]
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a=2\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
11.2R) Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych.
