Funkcje
Zadanie 3, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\). Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x=a\) jest równa \(-\frac{1}{2}a\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(a=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: wyznaczamy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu, a następnie podstawiamy \(x=a\) i rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą \(a\).
**Krok \(2\).** Dla \(f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\), gdzie \(x\neq 1\), mamy
\[f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-\left(ax^{2}+x\right)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.\]
**Krok \(3\).** Upraszczamy licznik:
\[2ax^{2}-2ax+x-1-ax^{2}-x=ax^{2}-2ax-1,\qquad\text{czyli}\qquad f'(x)=\frac{ax^{2}-2ax-1}{(x-1)^{2}}.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy \(x=a\) (musi być \(a\neq 1\), bo w punkcie \(1\) funkcja nie jest określona):
\[f'(a)=\frac{a\cdot a^{2}-2a\cdot a-1}{(a-1)^{2}}=\frac{a^{3}-2a^{2}-1}{(a-1)^{2}}.\]
**Krok \(5\).** Zapisujemy warunek \(f'(a)=-\frac{1}{2}a\) i mnożymy obie strony przez \(2(a-1)^{2}\neq 0\):
\[2\left(a^{3}-2a^{2}-1\right)=-a(a-1)^{2}.\]
**Krok \(6\).** Rozwijamy prawą stronę: \(-a\left(a^{2}-2a+1\right)=-a^{3}+2a^{2}-a\). Stąd
\[2a^{3}-4a^{2}-2+a^{3}-2a^{2}+a=0,\qquad 3a^{3}-6a^{2}+a-2=0.\]
**Krok \(7\).** Grupujemy wyrazy:
\[3a^{2}(a-2)+(a-2)=0,\qquad (a-2)\left(3a^{2}+1\right)=0.\]
**Krok \(8\).** Czynnik \(3a^{2}+1\) jest dodatni dla każdego \(a\), więc jedynym rozwiązaniem jest \(a=2\), a warunek \(a\neq 1\) jest spełniony.
**Uwaga.** Mianownik \((a-1)^{2}\) jest dodatni, więc mnożenie przez niego jest bezpieczne, ale trzeba osobno odnotować, że dla \(a=1\) pochodna \(f'(a)\) w ogóle nie istnieje.
**Odpowiedź.** \(a=2\).
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\), np. \(f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-(ax^{2}+x)\cdot 1}{(x-1)^{2}}\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a\), np.
\[\frac{(2a^{2}+1)(a-1)-(a^{3}+a)\cdot 1}{(a-1)^{2}}=-\frac{1}{2}a\]
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a=2\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej.
