Ciągi
Zadanie 10, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz
\[\lim_{n\to\infty}\frac{-2n^3+3n}{(1-4n)^3}.\]
Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[\frac1{32}=0{,}03125.\] Należy zakodować cyfry \(0,3,1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyłączamy \(n^3\) w liczniku i mianowniku:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{-2n^3+3n}{(1-4n)^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3\left(-2+\frac3{n^2}\right)}{n^3\left(\frac1n-4\right)^3}=\frac{-2}{(-4)^3}=\frac1{32}=0{,}03125.\]
Pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(0,3,1\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna granica \(\frac1{32}\) i kod \(031\)
**1 pkt** – poprawne podzielenie licznika i mianownika przez \(n^3\) lub wskazanie ilorazu współczynników najwyższych potęg
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
5.2. R. Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów.
