Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\[f(x)=\frac{x-8}{x^2+6}\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie \(x=\frac12\). Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
Należy zakodować cyfry \(3,5,2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z reguły różniczkowania ilorazu
\[f'(x)=\frac{x^2+6-2x(x-8)}{(x^2+6)^2}=\frac{-x^2+16x+6}{(x^2+6)^2}.\]
Dla \(x=\frac12\) otrzymujemy
\[f'\left(\frac12\right)=\frac{55/4}{(25/4)^2}=\frac{44}{125}=0{,}352.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(3,5,2\)
**1 pkt** – poprawna pochodna albo wartość \(\frac{44}{125}\) z błędem kodowania
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
11.2 R - obliczanie pochodnych funkcji wymiernych.
