Granice i pochodne
Zadanie 2, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Granica
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3+8}{x^2-4}-x\right)\]
jest równa
**A.** \(-\infty\)
**B.** \(+\infty\)
**C.** \(0\)
**D.** \(-2\)
Odpowiedź
**C.** \(0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wyrażenie \(\frac{x^3+8}{x^2-4}-x\) prowadzi przy \(x\to+\infty\) do symbolu nieoznaczonego \(\infty-\infty\), więc najpierw je upraszczamy.
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:
\[x^3+8=(x+2)\left(x^2-2x+4\right),\qquad x^2-4=(x+2)(x-2).\]
Dla dostatecznie dużych \(x\), w szczególności dla \(x>2\), mamy \(x+2\ne0\) i \(x-2\ne0\), więc czynnik \(x+2\) można skrócić:
\[\frac{x^3+8}{x^2-4}=\frac{x^2-2x+4}{x-2}.\]
Wykonujemy dzielenie z resztą: \(x^2-2x+4=(x-2)\cdot x+4\), zatem
\[\frac{x^2-2x+4}{x-2}=x+\frac4{x-2},\]
a stąd
\[\frac{x^3+8}{x^2-4}-x=x+\frac4{x-2}-x=\frac4{x-2}.\]
Otrzymaliśmy wyrażenie o stałym liczniku i mianowniku rosnącym nieograniczenie, więc
\[\lim_{x\to+\infty}\frac4{x-2}=0.\]
**Odpowiedź.** C. \(0\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
obliczanie granic funkcji z wykorzystaniem przekształceń algebraicznych i twierdzeń o działaniach na granicach.
