Zadanie 8 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom rozszerzony

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).

Różnicę prawej i lewej strony można zapisać jako sumę kwadratów: \[x^{2}+y^{2}+1-xy-x-y=\frac{1}{2}\left((x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right)\geq0.\] To dowodzi podanej nierówności.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: \((x-y)^{2}\) lub \((x-1)^{2}\), lub \((y-1)^{2}\), np. \((x-y)^{2}+x^{2}+y^{2}-2x-2y+2\geq 0\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. \(0\leq x^{2}-(y+1)x+(y^{2}-y+1)\) oraz \(\Delta=-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq\left[(x-1)-(y-1)\right]^{2}+(x-1)(y-1)\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości nierówności, np. \(0\leq(x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu \(-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq(x-1)^{2}-(x-1)(y-1)+(y-1)^{2}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).