Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 6, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie kody dziewięciocyfrowe spełniające jednocześnie następujące warunki:
- pierwszą cyfrą kodu jest \(2\),
- cyfra \(4\) występuje w kodzie dokładnie \(3\) razy,
- cyfra \(8\) występuje w kodzie dokładnie \(2\) razy,
- pozostałe cyfry kodu są parami różnymi cyframi nieparzystymi.
Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.
Odpowiedź
\(33\,600\) kodów.
Rozwiązanie krok po kroku
Po ustaleniu pierwszej cyfry pozostaje \(8\) pozycji. Wybieramy \(3\) pozycje dla cyfr \(4\), następnie \(2\) z pozostałych \(5\) pozycji dla cyfr \(8\). Trzy wolne miejsca wypełniamy uporządkowanym wyborem \(3\) spośród \(5\) cyfr nieparzystych. Zatem
\[\binom{8}{3}\binom{5}{2}\cdot5\cdot4\cdot3=33\,600.\]
Klucz i zasady oceniania
3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600.
2 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np.
(8) ⋅ (5) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3, (8) ⋅ (6) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3.
3 2 2 3
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8:
(8)
oraz
(5)
(lub
(8)
oraz
(6))
3 2 2 3
ALBO
– wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3.
3
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1R) Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
