Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 2, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:
- na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra \(2\),
- cyfra \(4\) występuje w kodzie dokładnie trzy razy,
- cyfra \(8\) występuje dokładnie dwa razy,
- pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.
Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(33\,600\) kodów.
Rozwiązanie krok po kroku
Przykładowe pełne rozwiązanie
Cyfrę \(2\) umieszczamy na pierwszej pozycji kodu.
Spośród ośmiu dostępnych pozycji w kodzie wybieramy trzy pozycje, na których umieścimy
czwórki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (\(8\)).
\(3\)
Po umieszczeniu czwórek w kodzie mamy pięć dostępnych pozycji. Spośród nich wybieramy
dwie, na których umieścimy ósemki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa
(\(5\)).
\(2\)
Pozostały jeszcze trzy nieobsadzone pozycje, na których należy umieścić trzy – parami
różne – cyfry nieparzyste. Liczba wszystkich takich możliwych obsadzeń tych trzech pozycji
jest równa \(5 ⋅ 4 ⋅ 3\).
Korzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich kodów spełniających warunki
zadania:
\(8\) \(5\) \(8 ⋅ 7 ⋅ 6\) \(5 ⋅ 4\)
( ) ⋅ ( ) ⋅ \(5 ⋅ 4 ⋅ 3\) = ⋅ ⋅ \(5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 33\) \(600\)
\(3\) \(2\) \(1 ⋅ 2 ⋅ 3\) \(1 ⋅ 2\)
Klucz i zasady oceniania
3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600.
2 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np.
(8) ⋅ (5) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3, (8) ⋅ (6) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3.
3 2 2 3
1 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8:
(8)
oraz
(5)
(lub
(8)
oraz
(6))
3 2 2 3
ALBO
– wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3.
3
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.
