Nierówności
Zadanie 4, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[xy+x+y\leq x^{2}+y^{2}+1.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie tak, aby po jednej stronie została suma kwadratów. Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, co od razu kończy dowód.
**Krok \(2\).** Mnożymy obie strony przez \(2\) (liczbę dodatnią, więc kierunek nierówności się nie zmienia):
\[2xy+2x+2y\leqslant 2x^{2}+2y^{2}+2.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy wszystko na prawą stronę:
\[0\leqslant 2x^{2}+2y^{2}+2-2xy-2x-2y.\]
**Krok \(4\).** Rozbijamy prawą stronę na trzy grupy, tak by każda była kwadratem różnicy:
\[2x^{2}+2y^{2}+2-2xy-2x-2y=\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)+\left(x^{2}-2x+1\right)+\left(y^{2}-2y+1\right).\]
Sprawdzenie: po dodaniu otrzymujemy \(2x^{2}+2y^{2}-2xy-2x-2y+2\) — zgadza się.
**Krok \(5\).** Zwijamy każdą grupę do kwadratu:
\[0\leqslant (x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}.\]
**Krok \(6\).** Każdy składnik po prawej stronie jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc jest nieujemny; suma liczb nieujemnych jest nieujemna. Nierówność z kroku \(5\) jest zatem prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).
**Krok \(7\).** Wszystkie przekształcenia w krokach \(2\)–\(5\) były równoważne, więc prawdziwa jest także nierówność wyjściowa \(xy+x+y\leqslant x^{2}+y^{2}+1\). To należało wykazać.
**Uwaga.** Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie trzy kwadraty są zerami, czyli dla \(x=y=1\). Mnożenie przez \(2\) na początku nie jest ozdobnikiem — bez niego wyrazy \(-2xy\), \(-2x\), \(-2y\) nie utworzą pełnych kwadratów.
**Odpowiedź.** Nierówność \(xy+x+y\leqslant x^{2}+y^{2}+1\) jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych \(x,y\), bo jest równoważna nierówności \(0\leqslant (x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: \((x-y)^{2}\) lub \((x-1)^{2}\), lub \((y-1)^{2}\), np. \((x-y)^{2}+x^{2}+y^{2}-2x-2y+2\geq 0\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. \(0\leq x^{2}-(y+1)x+(y^{2}-y+1)\) oraz \(\Delta=-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq\left[(x-1)-(y-1)\right]^{2}+(x-1)(y-1)\) (dla sposobu III).
**2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości nierówności, np. \(0\leq(x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\) (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą \(x\) (lub niewiadomą \(y\)) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu \(-3y^{2}+6y-3\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(0\leq(x-1)^{2}-(x-1)(y-1)+(y-1)^{2}\) (dla sposobu III).
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).
