Potęgi i pierwiastki
Zadanie 9, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Oblicz
\[\log_3\sqrt[4]{27}-\log_3\left(\log_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right).\]
Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
Należy zakodować cyfry \(2,7,5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy
\[\log_3\sqrt[4]{27}=\log_3 3^{3/4}=\frac34.\]
Ponadto
\[\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}=3^{1/9},\qquad \log_3 3^{1/9}=\frac19=3^{-2},\]
więc
\[\log_3\left(\log_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right)=\log_3(3^{-2})=-2.\]
Całe wyrażenie jest równe \(\frac34-(-2)=2{,}75\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(2,7,5\)
**1 pkt** – poprawne obliczenie jednego z dwóch logarytmów lub otrzymanie \(2{,}75\) z błędnym kodowaniem
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.2 R - logarytm potęgi i zamiana podstawy logarytmu.
