Geometria analityczna
Zadanie 24, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Odcinek o końcach \(A = (1, 1)\) oraz \(B = (3, -1)\) jest średnicą okręgu O. Okrąg jest określony równaniem
A. \((x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 8\)
B. \(x^{2} + (y - 2)^{2} = 2\)
C. \((x - 2)^{2} + y^{2} = 2\)
D. \((x - 2)^{2} + y^{2} = 8\)
Podpowiedź
Środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\), a promień stanowi połowę jego długości.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Najpierw wyznaczamy środek średnicy, potem kwadrat promienia.
Rozwiązanie
Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0).\] Ponadto \(AB^2=(3-1)^2+(-1-1)^2=8\), więc \(r^2=\frac{AB^2}{4}=2\). Równanie okręgu ma postać \[(x-2)^2+y^2=2.\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu punktu \(A=(1,1)\) otrzymujemy \((1-2)^2+1^2=2\), więc punkt leży na okręgu.
Odpowiedź
**C.** \((x-2)^2+y^2=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Środek okręgu jest środkiem średnicy \(AB\):
\[S=\left(\frac{1+3}2,\frac{1+(-1)}2\right)=(2,0).\]
Promień jest połową długości średnicy:
\[|AB|=\sqrt{(3-1)^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt8=2\sqrt2,\qquad r=\sqrt2,\qquad r^{2}=2.\]
Zatem okrąg ma równanie \((x-2)^{2}+y^{2}=2\).
**Odpowiedź.** Wariant **C**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
IV. Rozumowanie i argumentacja. IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r².
