Geometria analityczna
Zadanie 8, maj 2025, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są okręgi \(O_1\) oraz \(O_2\) o równaniach:
- \(O_1: (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\),
- \(O_2: (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\).
Te okręgi przecinają się w punktach \(A\) oraz \(B\). Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt \(M\) spełnia warunek \(\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}\). Oblicz współrzędne punktów \(A\), \(B\) oraz \(M\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Po odjęciu równań okręgów otrzymujemy prostą \(x+7y+15=0\). Jej punkty przecięcia z \(O_1\) to \(A=(\frac{16}{5},-\frac{13}{5})\) oraz \(B=(-1,-2)\). Z równania \(M-A=-2(M-B)\) wynika \(M=\frac{A+2B}{3}=(\frac{2}{5},-\frac{11}{5})\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wspólne punkty okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Odejmując je stronami, eliminujemy wyrazy kwadratowe:
\[(x-1)^{2}+(y+3)^{2}-\left[(x-2)^{2}+(y-4)^{2}\right]=5-45,\]\[2x+14y+30=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+7y+15=0.\]
Jest to równanie prostej zawierającej cięciwę wspólną \(AB\).
Podstawiamy \(x=-7y-15\) do równania okręgu \(O_1\):
\[(-7y-16)^{2}+(y+3)^{2}=5\quad\Longleftrightarrow\quad 50y^{2}+230y+260=0\quad\Longleftrightarrow\quad 5y^{2}+23y+26=0.\]
Wyróżnik \(\Delta=529-520=9\), więc \(y=-2\) albo \(y=-\frac{13}5\). Odpowiadające pierwsze współrzędne to \(x=-1\) oraz \(x=\frac{16}5\).
Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną dodatnią, zatem
\[A=\left(\frac{16}5,-\frac{13}5\right),\qquad B=(-1,-2).\]
Warunek \(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{BM}\) zapisujemy wektorowo: \(M-A=-2(M-B)\), skąd \(3M=A+2B\), czyli
\[M=\frac{A+2B}3=\left(\frac{\frac{16}5-2}3,\ \frac{-\frac{13}5-4}3\right)=\left(\frac25,-\frac{11}5\right).\]
**Odpowiedź.** \(A=\left(\frac{16}5,-\frac{13}5\right)\), \(B=(-1,-2)\), \(M=\left(\frac25,-\frac{11}5\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) ALBO zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\), ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: \(7\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\), ALBO wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) oraz zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\), ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej \(AB\), ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \(\left(\frac{11}{10},-\frac{23}{10}\right)\).
**3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\) oraz \(B=(-1,-2)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\) oraz zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\).
**4 pkt** – zapisanie równania \(\left[x_M-\frac{16}{5},\ y_M-\left(-\frac{13}{5}\right)\right]=-2\cdot\left[x_M-(-1),\ y_M-(-2)\right]\) ALBO zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć współrzędne punktu \(M\), np. \(\sqrt{(-1-x_M)^{2}+(-2-y_M)^{2}}=\sqrt{2}\) oraz \(\sqrt{(x_M-3{,}2)^{2}+(y_M+2{,}6)^{2}}=2\sqrt{2}\), ALBO obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\) i \(B=(-1,-2)\) oraz zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\).
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\), \(B=(-1,-2)\) oraz \(M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)\).
Uwagi:
1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt \(A\) jako \((-1,-2)\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje zadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.R2) Zdający znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
IX.R3) Zdający zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.
