Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ustalamy, które ramię trójkąta leży na danej prostej (sprawdzając, który z punktów \(A\), \(B\) do niej należy). Potem wyznaczamy \(C\) z warunku \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\), następnie \(M\) ze stosunku podziału, a na końcu promień okręgu. **Krok \(2\).** Sprawdzamy oba wierzchołki: \[A=(1,-1)\colon\ 1+2\cdot(-1)-4=-5\neq 0,\qquad B=(4,0)\colon\ 4+2\cdot 0-4=0.\] Na prostej \(x+2y-4=0\) leży zatem punkt \(B\), więc to ramię \(BC\) zawiera się w tej prostej. **Krok \(3\).** Zapisujemy współrzędne \(C\) w zależności od jednej zmiennej. Z równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\), więc \[C=\left(x,\ 2-\frac{x}{2}\right).\] **Krok \(4\).** Warunek \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\) zapisujemy jako równość kwadratów odległości: \[(1-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(4-x)^{2}+(0-y)^{2},\] \[1-2x+x^{2}+1+2y+y^{2}=16-8x+x^{2}+y^{2},\] \[6x+2y-14=0,\qquad\text{czyli}\qquad 3x+y-7=0.\] Jest to równanie symetralnej odcinka \(AB\). **Krok \(5\).** Podstawiamy \(y=2-\frac{x}{2}\): \[3x+2-\frac{x}{2}-7=0,\qquad \frac{5}{2}x=5,\qquad x=2,\qquad y=1.\] Zatem \(C=(2,1)\). **Krok \(6\).** Z warunku \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=1:4\) wynika \(\lvert AM\rvert=\frac{1}{5}\lvert AC\rvert\), czyli \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\). Ponieważ \(\overrightarrow{AC}=[2-1,\ 1-(-1)]=[1,2]\), mamy \[M=\left(1+\frac{1}{5},\ -1+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\ -\frac{3}{5}\right).\] **Krok \(7\).** Promień okręgu to odległość \(\lvert MC\rvert\): \[r^{2}=\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\frac{3}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16+64}{25}=\frac{80}{25}=\frac{16}{5}.\] **Krok \(8\).** Zapisujemy równanie okręgu o środku \(M\) i promieniu \(r\): \[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Pułapką jest założenie, że to ramię \(AC\) leży na danej prostej. Sprawdzenie z kroku \(2\) rozstrzyga to jednoznacznie: warunek spełnia tylko punkt \(B\). **Odpowiedź.** \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta, np. \(6x+2y-14=0\) ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(C=\left(x_C,-\frac{1}{2}x_C+2\right)\), ALBO wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), np. \(6x_C+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_C+2\right)-14=0\), \(6(4-2y_C)+2y_C-14=0\) ALBO wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x+2y-14=0\) oraz \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(2,1)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x_C+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_C+2\right)-14=0\) oraz \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(C\) oraz \(M\): \(C=(2,1)\) oraz \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(C\) oraz długości odcinka \(MC\): \(C=(2,1)\) oraz \(\lvert MC\rvert=\frac{4}{\sqrt{5}}\). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu \(C=(2,1)\) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. a) Jeżeli zdający przyjmuje \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=4:1\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert\) inny niż \(1:4\) lub \(4:1\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca). **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\). **2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(D\) oraz \(E\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) ALBO wyznaczenie równania prostej \(MD\), np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\), ALBO wyznaczenie równania prostej \(ME\), np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\) oraz wyznaczenie równania prostej \(ME\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(E\) oraz wyznaczenie równania prostej \(MD\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) oraz np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(M\) oraz współrzędnych wektora \(\overrightarrow{AM}\) (lub współrzędnych wektora \(\overrightarrow{MC}\)): \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) oraz \(\overrightarrow{AM}=\left[\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right]\) (lub \(\overrightarrow{MC}=\left[\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]\)). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.3) Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. 8.7R) Zdający oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.