Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 9, maj 2026, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(1,-1)\) oraz \(B=(4,0)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), w którym \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\). Jedno z ramion trójkąta \(ABC\) zawiera się w prostej o równaniu \(x+2y-4=0\). Na boku \(AC\) tego trójkąta obrano taki punkt \(M\), że \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=1:4\).
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie \(M\) i przechodzi przez punkt \(C\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ustalamy, które ramię leży na danej prostej (sprawdzając, który z punktów \(A\), \(B\) do niej należy), potem wyznaczamy \(C\) z układu: dana prosta oraz symetralna podstawy \(AB\).
**Krok \(2\).** Sprawdzamy: dla \(A=(1,-1)\) mamy \(1+2\cdot(-1)-4=-5\neq 0\), a dla \(B=(4,0)\) mamy \(4+0-4=0\). Zatem prosta \(x+2y-4=0\) zawiera ramię \(BC\), a więc leży na niej punkt \(C\).
**Krok \(3\).** Z warunku \(|CA|=|CB|\) punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Zapisujemy \(|CA|^{2}=|CB|^{2}\) dla \(C=(x,y)\):
\[(1-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(4-x)^{2}+(0-y)^{2},\]
\[1-2x+x^{2}+1+2y+y^{2}=16-8x+x^{2}+y^{2},\qquad 6x+2y-14=0,\qquad 3x+y=7.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ \(x+2y=4\) oraz \(3x+y=7\). Z drugiego równania \(y=7-3x\), więc \(x+14-6x=4\), skąd \(x=2\) i \(y=1\). Zatem \(C=(2,1)\).
**Krok \(5\).** Punkt \(M\) leży na odcinku \(AC\) i \(|AM|:|MC|=1:4\), więc \(|AM|=\frac{1}{5}|AC|\), czyli \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
**Krok \(6\).** Obliczamy współrzędne:
\[M=\left(1+\frac{1}{5}(2-1),\ -1+\frac{1}{5}\bigl(1-(-1)\bigr)\right)=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right).\]
**Krok \(7\).** Kwadrat promienia to kwadrat odległości \(M\) od \(C\):
\[r^{2}=\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\frac{3}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16+64}{25}=\frac{16}{5}.\]
**Uwaga.** Stosunek \(1:4\) oznacza podział odcinka na \(5\) równych części, więc mnożnik wektora wynosi \(\frac{1}{5}\), a nie \(\frac{1}{4}\) — to najczęstsze potknięcie w tym zadaniu.
**Odpowiedź.** \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).
Klucz i zasady oceniania
**Zasady oceniania (dla sposobu I)**
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).
**4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(C\) oraz \(M\): \(C=(2,1)\) oraz \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\)
ALBO
– obliczenie współrzędnych punktu \(C\) oraz długości odcinka \(MC\): \(C=(2,1)\) oraz \(\lvert MC\rvert=\frac{4}{\sqrt{5}}\).
**3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(2,1)\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x_{C}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)-14=0\) oraz \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), np. \(6x_{C}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)-14=0\), \(6\left(4-2y_{C}\right)+2y_{C}-14=0\)
ALBO
– wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x+2y-14=0\) oraz \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\).
**1 pkt** – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta, np. \(6x+2y-14=0\)
ALBO
– zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(C=\left(x_{C},-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)\),
ALBO
– wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu \(C=(2,1)\) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów.
2. a) Jeżeli zdający przyjmuje \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=4:1\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.
b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert\) inny niż \(1:4\) lub \(4:1\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (\(1\) punkt za zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), oraz \(1\) punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca).
**Zasady oceniania (dla sposobu II)**
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).
**4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(M\) oraz współrzędnych wektora \(\overrightarrow{AM}\) (lub współrzędnych wektora \(\overrightarrow{MC}\)): \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) oraz \(\overrightarrow{AM}=\left[\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right]\) (lub \(\overrightarrow{MC}=\left[\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]\)).
**3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\) oraz wyznaczenie równania prostej \(ME\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\)
ALBO
– obliczenie współrzędnych punktu \(E\) oraz wyznaczenie równania prostej \(MD\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) oraz np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\).
**2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(D\) oraz \(E\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\)
ALBO
– wyznaczenie równania prostej \(MD\), np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\),
ALBO
– wyznaczenie równania prostej \(ME\), np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\).
**1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\)
ALBO
– obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.R3) Zdający zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
